Выпуклые множества и выпуклые функции. Свойства выпуклых множеств

Рис.3.4.Унимодальные функции: а) гладкая, б) непрерывная, в) разрывная, г) дискретная, д) произвольная.

возможно вырождение в точку одного или двух из отрезков , , (рис 3.5).

Рис.3.5. Варианты расположения и вырождения в точку отрезков монотонности и постоянства унимодальной функции.

множество функций, унимодальных на отрезке будем обозначать Q. Унимодальность функций является исключительно важным свойством, которое широко используется в оптимизационных исследованиях.

3.2.3 Выпуклые, псевдовыпуклые и квазивыпуклые функции .

Выпуклые функции и их обобщения (псевдовыпуклые и квазивыпуклые функции) играют важную роль в теории оптимизации. С помощью этих функций будут сформулированы достаточные условия оптимальности.

Числовую функцию f, определенную на выпуклом множестве X, XÌE n , называют выпуклой, если для любых двух точек x 1 ,x 2 ÎX и произвольного числа lÎ выполняется неравенство

f(lx 1 +(1-l)x 2) £ lf(x 1)+(1-l)f(x 2). (3.1)

Неравенство противоположного смысла определяет вогнутую функцию, причем часто используются термины «выпуклая вниз (1)» «выпуклая вверх (2)» (рис3.6).

Рис.3.6. 1) Выпуклая (выпуклая вниз) функция, 2) Вогнутая (вогнутая вверх)функция.

Геометрически выпуклость функции f означает, что любая точка произвольной хорды графика f располагается не ниже соответствующей точки самого графика (лежит ниже хорды, соединяющей две точки ее графика),(рис 3.6., кривая 1).

Простейшими примерами выпуклых функций одной переменной служат парабола y=x 2 и экспонента y=e x . Функции y=-x 2 и y=-e x являются вогнутыми.

Если при всех x 1, x 2 ÎX x 1 ¹x 2 и lÎ неравенство (3.1) выполняется как строгое (<), то f называется строго выпуклой на X (рис 3.7,а). Функция называется (строго) выгнутой , если - f (строго) выпукла (рис. 3.7, б).

Рис.3.7. Строго выпуклая (а) и строго вогнутая функции, их производные (пунктир) и функция, имеющая линейный участок

Функция f(x) , определенная на выпуклом множестве Х , называется сильно выпуклой с константой l > 0, если

Дадим геометрическую интерпретацию определения (3.2), рассмотрев функцию

y= f(x) одного переменного. Зафиксировав x 1 и x 2 из области определения функции и обозначив , будем изменять l от 0 до 1. Ясно, что тогда значение x(l) , будет изменяться от x 1 до х 2 , а точка (х , f(x) ) пройдет по графику функции y=f(x) от точки B= (x 2 , f(x 2) ) до точки А = (х 1 , f(x 1)) (рис.3.8).

Рис.3.8. График сильно выпуклой функции.

Уравнения

в плоскости xOy описывают прямую L (секущую), соединяющую точки А и В , а уравнения

задают параболу Р вида , которая проходит через точки А и В . Неравенство (3.2) в этом случае означает, что график функции y = f(x) на плоскости хОу расположен ниже не только секущей, соединяющей точки А и В , но и параболы Р, прогиб которой определяется параметром l и его можно выбрать сколь угодно малым. Другими словами, в области, ограниченной секущей и графиком функции, можно построить параболу, соединяющую точки А и В .

· Теорема3.1 Непрерывно дифференцируемая на выпуклом множестве X функция f выпукла на этом множестве тогда и только тогда, когда для любых x 1 ,x 2 Î X верно неравенство

f(x 2) ³ f(x 1) + <Ñf(x 1 ,x 2 -x 1)>, (3.3)

получаемое из разложения функции f(x) в ряд Тейлора в точке x 1 путем исключения членов второго и более высокого порядка разложения

F(x 1 +h) = f(x 1) + hf ¢(x 1) + h 2 /2*f¢¢(x 1) +..., (3.3)

где h достаточно малое число, |h|

Ñf(x 1) = (¶f/¶x 1 , ¶f/¶x 2 ,.., ¶f/¶x n) т,

т.е. представляет собой вектор частичных производных первого порядка, вычисленных в точке x 1 и называется градиентом функции f в точке x 1 .

· Теорема 3.2 Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на выпуклом множестве X, содержащем хотя бы одну внутреннюю точку, и Ñ 2 f(x)- ее гессиан. Тогда для выпуклости f на множестве X необходимо и достаточно, чтобы матрица Ñ 2 f(x) была неотрицательно определена при всех xÎX, т.е. чтобы неравенство

<Ñ 2 f(x)h, h>³0 (3.4)

выполнялось для всех точек xÎX, hÎE n . Здесь числовая матрица Ñ 2 f(x) называется гессианом (или матрицей Гессе). Если функция f имеет непрерывные частные производные второго порядка (дважды непрерывно дифференцируема) в точке x 1 , то она дважды дифференцируема в x 1 и обладает матрицей Гессе вида

причем эта матрица симметрична, т.е.

Аналогичные утверждения имеют место и для вогнутых функций. При этом в формулах (3.2) и (3.4) знак неравенства ³ следует заменить на £.

Проверка функции на выпуклость .

Функция f выпуклая, если ее матрица Гессе положительно определена (>0) или положительна полуопределена для всех значений x 1 ,x 2 ,..,x n.

Проверка функции на выгнутость.

Функция f выгнутая, если ее матрица Гессе отрицательно полуопределена (£0) для всех значений x 1 ,x 2 ,..,x n .

Строго выпуклая или вогнутая функция имеет единственный экстремум, являющийся соответственно глобальным минимумом или максимумом. Функция, имеющая линейный участок (рис 3.7, в), имеет бесконечное число экстремумов, равных по величине.

Для суждения об одноэкстремальности при наличии ограничений можно воспользоваться понятием выпуклости допустимого множества. Множество является выпуклым, если любой отрезок прямой, соединяющей две точки границ множества, целиком лежит внутри множества.

О выпуклости или вогнутости целевой функции можно судить также по характеру изменения ее частных производных ¶f/¶x. В случае строго выпуклой функции эта производная по мере увеличения аргумента возрастает (рис 3.7 а), а для строго выпуклой падает (рис 3.7 б). При наличии линейного участка целевой функции указанная производная на этом участке постоянна.

Выпуклое множество вида

X={xÎE n } | Ax£b}={xÎE n | £b i , i=1,..,m}

Дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными

и линейная функция F = c 1 x 1 + c 2 x 2 +… + c n x n min (max)

Система (1) называется системой ограничений, а функция F - линейной функцией, линейной формой, целевой функцией или функцией цели.

Более кратко общую задачу линейного программирования можно представить в виде:

x={x|Axb, A=, b=( T )}

Задачу линейного программирования записывают и в других формах - канонической и нормальной. Канонической задачей - обозначение Зк, назовем такую:

x={x|Axb, ?0, j=)}

Нормальной задачей - обозначение Зн, назовем такую

x={x|Axb, ?0, j=)}

Выпуклые множества и функции

Определение выпуклого множества: множество - - выпуклое, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка, соединяющего в пространстве точку с точкой.

На следующем рисунке изображены два множества на плоскости: одно выпуклое, а другое нет.

Рис. 1

Выпуклыми в пространстве являются, например, такие множества: всё пространство, его положительный октант и неотрицательный октант, любой шар, как открытый, так и замкнутый, любая гиперплоскость (заданная некоторым уравнением вида, а также открытое и замкнутое полупространства, заданные, соответственно, условиями и.

Среди точек выпуклого множества можно выделить внутренние, граничные и угловые точки.

Точка множества называется внутренней , если в некоторой ее окрестности содержатся точки только данного множества.

Точка множества называется граничной , если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие ему.

Особый интерес в задачах линейного программирования представляют угловые точки. Точка множества называется угловой (или крайней), если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству.

На рис. приведены примеры различных точек многоугольника: внутренней (точки М), граничной (точка N) и угловых (точки А, В, С, D, Е). Точка А - угловая, так как для любого отрезка, целиком принадлежащего многоугольнику, например, отрезка АР, она не является внутренней; точка А - внутренняя для отрезка KL, но этот отрезок не принадлежит целиком многоугольнику.

Для выпуклого множества угловые точки всегда совпадают с вершинами многоугольника (многогранника), в то же время для невыпуклого множества это не обязательно. Множество точек называется замкнутым, если включает все свои граничные точки. Множество точек называется ограниченным , если существует шар (круг) радиуса конечной длины с центром в любой точке множества, который полностью содержит в себе данное множество; в противном случае множество называется неограниченным. Выпуклое замкнутое множество точек плоскости, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многоугольником, если оно ограниченное, и выпуклой многоугольной областью, если оно неограниченное.

Функция f: называется выпуклой, если ее надграфик epi f= является выпуклым множеством. На рисунке изображена выпуклая функция, её график выделен синим и надграфик закрашен зеленым.

Функция f: называется замкнутой, если ее надграфик - замкнутое множество.

Геометрический смысл решений неравенств, уравнений и их систем

Рассмотрим решения неравенств.

Утверждение 1. Множество решений неравенства с двумя переменными a11x1+a12x2<=b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой a11x1+a12x2=b1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства a11x1+a12x2>=b1.

Для определения искомой полуплоскости (верхней или нижней) рекомендуется задать произвольную контрольную точку, не лежащую на ее границе - построенной прямой. Если неравенство выполняется в контрольной точке, то оно выполняется и во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. И наоборот, в случае невыполнения неравенства в контрольной точке, оно не выполняется во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве контрольной точки удобно взять начало координат О (0; 0), не лежащее на построенной прямой.

Рассмотрим множество решений систем неравенств.

Утверждение 2. Множество решений совместной системы т линейных неравенств с двумя переменными является выпуклым многоугольником (или выпуклой многоугольной областью).

Каждое из неравенств в соответствии с утверждением 1 определяет одну из полуплоскостей, являющуюся выпуклым множеством точек. Множеством решений совместной системы линейных неравенств служат точки, которые принадлежат полуплоскостям решений всех неравенств, т.е. принадлежат их пересечению. Согласно утверждению о пересечении выпуклых множеств это множество является выпуклым и содержит конечное число угловых точек, т.е. является выпуклым многоугольником (выпуклой многоугольной областью).

Координаты угловых точек - вершин многоугольника находят как координаты точек пересечения соответствующих прямых.

При построении областей решений систем неравенств могут встретиться и другие случаи: множество решений - выпуклая многоугольная область (рис. а); одна точка (рис. б); пустое множество, когда система неравенств несовместна (рис. в).

Определение понятия двойственности с помощью преобразования Лежандра

Пусть f:. Функция f*: определенная равенством f*(x*)==(x*), называется сопряженной функцией к f, а функция f**: определенная по правилу f**(x*)==(x*), называется второй сопряженной функцией к f.

Отображение f* (x*) =< x*, x> ? f(x) называется преобразованием Лежандра.

Обычный прием построения двойственной задачи состоит в следующем. Задача минимизации

где X - линейное пространство, включается в класс подобных ей задач, зависящих от параметра:

где Y - некоторое другое линейное пространство, F (x, 0)=f(x) (функцию F называют возмущением f). Обычно F предполагается выпуклой. Двойственной к задаче по отношению к данному возмущению наз. задача

где F* - функция, двойственная (сопряженная) с F в смысле Лежандра - Юнга - Фенхеля. Такая двойственность позволяет связать с каждой выпуклой функцией f: X-> R двойственный объект - сопряженную функцию, заданную на сопряженном пространстве X* и определяемую формулой

Для простейших задач выпуклого программирования типа

где X - линейное пространство, выпуклые функции на X, В-выпуклое множество в X (частными случаями (3) являются задачи линейного программирования), обычно применяются следующие стандартные возмущения, зависящие от параметров y=(у 1 ,…, y m), m, Теоремы двойственности для общих классов задач выпуклого программирования утверждают, что при некоторых допущениях на возмущение F значения задач (2) и (2*) совпадают, и более того, решение одной из задач является множителем Лагранжа для другой.

Выпуклое множество - подмножество евклидова пространства содержащей отрезок, соединяющий любые какие две точки этой множества.

Определение

Другими словами, множество называется выпуклой, если:

То есть, если множество X вместе с любыми двумя точками, которые принадлежат этому множеству, содержит отрезок, их соединяющий:

В пространстве выпуклыми множествами будут прямая, полупрямой, отрезок, интервал, одноточечный множество.

В пространстве выпуклым будет само пространство, любое его линейный подпространство, шар, отрезок, одноточечный множество. Также, выпуклыми будут такие множества:

• гиперплоскости H p? с нормалью p :

• полупространства на которые гиперплоскости разделяет пространство:

Все перечисленные множества (кроме пули) является частным случаем выпуклой множества полиэдры.

Свойства выпуклых множеств

• Пересечение выпуклых множеств является выпуклым.
• Линейная комбинация точек выпуклой множества выпуклая.
• Выпуклая множество содержит любую выпуклую комбинацию своих точек.
• Любую точку n -мерного евклидова пространства с выпуклой оболочки множества можно представить как выпуклую комбинацию не более n +1 точек этого множества

Рассмотрим n - мерное евклидово пространство и пусть  точка в этом пространстве.

Рассмотрим две точки и , принадлежащие .Множество точек , которые могут быть представлены в виде

(в координатах это записывается так:

отрезком , соединяющим точки и . Сами точки и называются концами отрезка . В случаях n =2 и n =3 это  отрезок в обычном понимании этого слова на плоскости или в пространстве (см. рис. 12). Заметим, что при  =0 , а при  =1 , т.е. при  =0 и  =1 получаются концы отрезка.

где все и называется выпуклой комбинацией точек .

Пусть есть некоторая область в пространстве (другими словами,

Определение. Множество (область) называется выпуклым , если из того, что и следует, что для   . Другими словами, G  выпуклое множество, если оно, вместе с любыми двумя своими точками, содержит в себе отрезок, соединяющий эти точки.

На этих рисунках "а" и "б" - выпуклые множества, а "в" не является выпуклым множеством, так как в нём есть такая пара точек, что соединяющий их отрезок не весь принадлежит этому множеству.

Теорема 1. Пусть G  выпуклое множество. Тогда любая выпуклая комбинация точек, принадлежащих этому множеству, также принадлежит этому множеству.

Доказательство

Докажем теорему методом математической индукции. При k =2 теорема верна, так как она просто переходит в определение выпуклого множества.

Пусть теорема верна для некоторого k . Возьмём точку и рассмотрим выпуклую комбинацию

Теорема доказана.

Теорема 2. Допустимая область задачи линейного программирования является выпуклым множеством.

Доказательство.

1. В стандартной форме в матричных обозначениях допустимая область G определяется условием

Т.е. x принадлежит G и, следовательно, выпукло.

2. В канонической форме область G определена условиями

Пусть и принадлежат G, т.е.

.

т.е. и, следовательно, G выпукло. Теорема доказана.

Таким образом, допустимая область в задаче линейного программирования является выпуклым множеством. По аналогии с двумерным или трехмерным случаями, при любом n эту область называют выпуклым

Теорема 3. Множество оптимальных планов задачи линейного программирования выпукло (если оно не пусто).

Доказательство

Если решение задачи линейного программирования единственно, то оно выпукло по определению  точка считается выпуклым множеством Пусть теперь и два оптимальных плана задачи линейного программирования.

т.е. есть также оптимальный план и, в силу этого, множество оптимальный планов выпукло. Теорема доказана.

Теорема 4. Для того, чтобы задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы целевая функция на допустимом множестве была ограничена сверху (при решении задачи на максимум) или снизу (при решении задачи на минимум).

Эту теорему мы даем без доказательства.

III. Выпуклые множества и функции 569

3. Все функции одной переменной с постоянной эластичность ю имеют вид (8) (воспользоваться равенством (4)).

4. Функции нескольких переменных с постоянными частными эластичностями - это степенные функции вида

y = Ax1 B 1 x2 B 2 ,...,xN B N .

III. Выпуклые множества и функции

При исследовании экономических явлений математическими методами весьма значительным оказывается такое свойство м ногих множеств и функций, как выпуклость. Характер поведения мн огих экономических объектов связан с тем. что определенные зав исимости, описывающие эти объекты, являются выпуклыми. С выпукл о- стью функций и множеств часто связано существование или е динственность решения экономических задач: на этом же свойст ве основаны многие вычислительные алгоритмы.

Справедливость многих утверждений, относящихся к выпукл ым множествам и функциям, совершенно ясна, они почти очевидн ы. В то же время их доказательство зачастую очень сложно. Поэтому здесь будут изложены некоторые основные факты, связанные с выпу клостью, без доказательств, в расчете на их интуитивную убедит ельность.

1. Выпуклые множества на плоскости

Любая геометрическая фигура на плоскости может рассматр иваться как множество точек, принадлежащих этой фигуре. Одни множества (например, круг, прямоугольник, полоса между параллел ьными прямыми) содержат и внутренние, и граничные точки; другие (например, отрезок, окружность) состоят только из граничных точе к.

Множество точек на плоскости называется выпуклым, если он о обладает следующим свойством: отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве (рис. 1).

Примерами выпуклых множеств являются: треугольник, отрезок, полуплоскость (часть плоскости, лежащая по одну сторону от какой-либо прямой), вся плоскость. Другие примеры выпуклых множеств приведены на рис. 2,а. На рис. 2,б приведены примеры невыпуклых множеств.

Множество, состоящее из одной-единственной точки, и пусто е множество, не содержащее ни одной точки, по принятому соглаше нию, также считаются выпуклыми. Во всяком случае, в этих множес твах невозможно провести отрезок, соединяющий какие-то точки э тих множеств и не принадлежащий этим множествам целиком, - в них

570 Математическое приложение

Рис. 1. Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклой фигуры, содержится в ней целиком.

Рис. 2. Выпуклые (а) и невыпуклые (б) множества на плоскости.

вообще невозможно выбрать две точки. Поэтому их включение в число выпуклых множеств не приведет к противоречию с опре делением, а для математических рассуждений этого достаточно.

Пересечение, т. е. общая часть двух выпуклых множеств, всегда выпукло: взяв любые две точки пересечения (а они - общие, т. е. принадлежат каждому из пересекающихся множеств) и соедин ив их отрезком, мы легко убеждаемся в том, что все точки отрезка я вляются общими для обоих множеств, так как каждое из них выпукло. Вы - пуклым будет и пересечение любого числа выпуклых множест в.

Важным свойством выпуклых множеств является их отделимость: если два выпуклых множества не имеют общих внутрен них точек, то плоскость можно разрезать по прямой таким образ ом, что одно из множеств будет целиком лежать в одной полупло скости, а другое - в другой (на линии разреза могут располагат ься точки обоих множеств). Отделяющая их прямая в одних случая х оказывается единственно возможной, в других - нет (рис. 3).

Граничная точка любого выпуклого множества сама может ра с- сматриваться как выпуклое множество, не имеющее с исходным множе-

Рис. 3. Отделяющие прямые. Рис. 4. Опорные прямые.

III. Выпуклые множества и функции 571

ством общих внутренних точек, следовательно, она может быть отделена от него некоторой прямой. Прямая, отделяющая от выпуклого множества его граничную точку, называется опорной прямой этого множества в данной точке. Опорные прямые в одних точках контура могу т быть единственными, в других - не единственными (рис. 4).

Введем на плоскости систему декартовых координат х, у. Теперь у нас появилась возможность рассматривать различные фиг уры как множества таких точек, координаты которых удовлетвор яют тем или иным уравнениям или неравенствам (если координат ы точки удовлетворяют какому-либо условию, будем для кратко сти говорить, что сама точка удовлетворяет этому условию).

Упражнение 1

Рассмотрите фигуры, точки которых удовлетворяют неравен ствам: а) y ³ x2 ; á)xy ³ 1; â)xy ³ 1, õ > 0; ã) |õ| + |ó|£ 2;

ä) (õ+1)2 + (ó – 2)2 £ 9. Какие из них выпуклы?

Линейному уравнению ах + by = с удовлетворяют точки прямой. Иными словами, прямая является решением этого уравнения. Решением линейного неравенства

Решением каждого из неравенств является полуплоскость. Р ешение системы - это множество точек, каждая из которых удовл етворяет всем неравенствам системы, т. е. решение системы неравенств - это пересечение всех решений отдельных неравенств, составляющих систему. Полуплоскость - выпуклое множество, а пересече- ние выпуклых множеств всегда выпукло. Таким образом, решение системы (2) - выпуклое множество. На рис. 5 показано решение системы неравенств

ïî - 2x - y ³ -7.

Рис. 5. Решение системы из трех линейных неравенств.

572 Математическое приложение

Заметим, что неравенство ах + by £ с может быть заменено равносильным ему неравенством –àõ – by³ –ñ, имеющим вид (1). Кроме того, уравнение ах + by = с равносильно такой паре неравенств:

{ ax + by ³ c; ax + by £ c.

Таким образом, решение системы линейных уравнений и неравенств - всегда выпуклое множество.

Упражнение 2

Будет ли решение системы

ai x + bi y > ci , i = l, 2, ..., N

выпуклым множеством? Чем оно отличается от решения систем ы (2)?

Упражнение 3

Придумайте системы неравенств, решениями которых будут: а) параллелограмм; б) внутренность угла; в) полоса между двумя параллельными прямыми; г) единственная точка; д) пустое множество.

2. Выпуклые функции одной переменной

Проще всего определить выпуклую функцию геометрически. Д ля этого полезно ввести понятие надграфика функции. Надграфиком функции называется множество точек, расположенных над графиком ф ункции и на самом графике. Более строго, надграфик функции f(х) - это множество таких точек, координата х которых лежит в области определения функции, а координата у удовлетворяет неравенству у ³ f(x).

Функция называется выпуклой вниз, если ее надграфик - выпуклое множество. Рис. 6 иллюстрирует это определение.

Рис. 6. Надграфик выпуклой функции.

Рис. 7. Точка хорды не может располагаться ниже графика.

III. Выпуклые множества и функции 573

Приведенное определение является вполне строгим и может быть однозначно переведено на аналитический язык.

Во-первых, функция f(х) должна иметь выпуклую область определения - отрезок, луч или всю прямую.

В противном случае надграфик распался бы на несколько отдельных областей, и отрезок, соединяющий точки из разных о бластей, проходил бы через «запретную зону».

Для выяснения того, какому условию должны отвечать значе- ния выпуклой вниз функции f(x) «выберем какие-либо две точки M1 è M2 на ее графике и проведем хорду M1 M2 (рис. 7). Она целиком должна лежать в надграфике, т. е. надграфику должна принадлежать любая точка М хорды.

Рассмотрим число l , показывающее, в какой пропорции точка M делит хорду:

l = M 2 M .

M2 M1

Эта величина лежит в пределах 0 £ l £ 1. Ясно, что в такой же пропорции абсцисса и ордината точки М делят отрезки è [ó1 , ó2 ]:

õ2 – õ3 =l ·(õ2 – x1 ); y2 – y3 =l ·(y2 – y1 );

õ3 =l ·x1 + (1 –l )õ2 ; y3 =l ·y1 + (1 –l )y2 .

Условие принадлежности точки ние неравенства y3 ³ f(õ3 ). А так неравенство можно представить в

М надграфику - это выполне- âèäå êàê y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(õ 2 ) - ýòî

Если неравенство (3) выполняется для любых значений x1 è õ2 , то любая хорда лежит в надграфике, тем более в надграфике л ежит любой отрезок, соединяющий точки, расположенные выше.

Таким образом, функция f(х), заданная на выпуклом множестве, выпукла вниз, если она обладает следующим свойством: для л ю- бых двух чисел x1 è õ2 из области определения функции и любого числаl из отрезка выполняется неравенство (3).

Неравенство (3) часто записывают в «симметричном» виде

574 Математическое приложение

Рис. 8. Функции: выпуклая вниз (а), выпуклая вверх (б), не имеющая постоянного знака выпуклости (в).

Аналогично можно определить и функции, выпуклые вверх: дл я этого нужно знаки неравенства (3) и (4) заменить на противоположные.

Функции, выпуклые вниз, часто называют просто «выпуклыми» . Выпуклые функции обладают свойством более общим, чем нера венство (4). Если x1 , õ2 ,..., xN - произвольные значения аргументаl 1 ,l 2 ,...,

l N - неотрицательные числа, сумма которых равна единице, то

III. Выпуклые множества и функции 575

Если производная f¢(x) дифференцируема (т. е. выпуклая функция f(х) дважды дифференцируема), то f¢¢(x) ³ 0. Для дважды дифференцируемых функций это неравенство оказывается р авносильным приведенному выше определению выпуклой функции; в курсах математического анализа выпуклость обычно опред еляют по знаку второй производной. Но в экономических приложени ях, где часто приходится иметь дело с функциями, графики кото рых имеют изломы, такое определение оказывается мало полезны м.

Если f(х) и g(x) - выпуклые функции и а ³ 0, то выпуклыми будут функции

á) f(x) + g(x);

â) max(f(õ), g(x)).

Выпуклость функций в а) и б) проверяется непосредственно с помощью неравенства (3) или (4). Функция в) при каждом х принимает значение, равное большему из значений f(х) и g(x) (и любому из них, если они равны). Надграфик функции max(f(x), g(x)) есть пересечение надграфиков функций f(х) и g(x) (проверьте!) - отсюда и выпуклость функции в).

Упражнение 4

Существуют ли функции, выпуклые вниз и выпуклые вверх одновременно?

Упражнение 5

Ê ак выглядит график функции f(х) = = mах (0, а + bх) при различных значе- ниях параметров а и b? Выпуклы ли эти функции?

Упражнение 6

Выпукла ли функция

Рис. 10. Графики функций f(х) (1), g(x)

N (2) è max(f(x), g(x)) (3). f(x) = å fi (x) ,

fi (x) = max (0, ai + bi x)?

Как выглядит ее график?

576 Математическое приложение

При каких значения а и b эта функция

Выпукла вниз?

Выпукла вверх?

- не имеет постоянного знака выпуклости?

IV. Пространство благ

Основные понятия

Многие теоретические вопросы обсуждаются в нашем учебни ке применительно к случаю двух продуктов. В качестве удобного средства, существенно упрощающего их анализ, использовались г рафические построения, в которых набор, включающий два продукта в коли- чествах x1 , è x2 изображался точкой на плоскости с декартовыми координатами (x1 , x2 ). Перевод теоретических понятий на геометри- ческий язык делал свойства обсуждаемых явлений весьма на глядными и при этом не приводил к потере строгости: все геометрические понятия (прямые, кривые, углы наклона и т. п.) имели точно определенные аналитические эквиваленты - уравнения, производные, с оотношения между параметрами и т. д. Поэтому такие построения широко используются и в учебниках по экономике, и в научных публикациях.

Однако эти геометрические рассуждения были строгими и то ч- ными лишь для случаев, когда перечень потребляемых благ в клю- чал всего два наименования. В действительности же число б лаг, которыми пользуются люди, значительно больше. Выводы, пол у- ченные геометрическим путем, можно считать обладающими д остаточной общностью, если их удастся распространить на слу чаи произвольного числа благ.

Задачи выпуклого программирования

1. Выпуклые множества

2.1.1. Понятие выпуклого множества

Определение . МножествоSE n называется выпуклым, если для любых двух точек
и
имеем

при любом
. Геометрически это означает, что вместе с
и
и весь отрезок
принадлежит множеству . Отметим, что отрезок
называется выпуклой комбинацией точек
и
.

Примеры выпуклых множеств

1. E n .

2. Пустое множество.

3. Множество, состоящее из одной точки

,

где
.

4. Гиперплоскость

где
, a ≠ 0, иb – число. Приn = 3 это множество совпадает с обычной плоскостью, а приn = 2 – с прямой.

5. Полупространство

где
, a ≠ 0, иb – число.

6. Конус

а y (k) – заданные векторы
. Заметим, что часто рассматриваются конусы с вершиной не в нуле, а в какой-либо другой точке
, то есть множества типа

7. Выпуклая комбинация (оболочка) конечного числа точек

Такое множество геометрически представляет собой n -мерный выпуклый многогранник.

8. Пересечение конечного числа полупространств

где
. Такое множество называется многогранным выпуклым множеством. В том случае, когда оно ограничено, оно также является выпуклым многогранником. Таким образом, возможны два представления выпуклого многогранника – в виде выпуклой оболочки конечной совокупности точек и в виде пересечения конечного числа полупространств, заданных неравенствами.

9. Шар радиуса r ≥0 с центром в

.

В качестве примеров невыпуклых множеств можно назвать множество целых чисел или множество рациональных чисел.

2.1.2. Свойства выпуклых множеств

Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Объединение двух выпуклых множеств не обязательно выпукло.

Пример: объединение двух точек не есть выпуклое множество.

также является выпуклым множеством.

Эти утверждения следуют из определения выпуклого множества. Докажем, например, первое утверждение для пересечения двух множеств
и
. Пусть. Рассмотрим

Из выпуклости A иB получаем, что
и
при всех
. Отсюда
. Утверждение доказано.

Определение .Крайней (экстремальной) точкой выпуклого множества называется такая его точка, которая не может быть представлена в виде выпуклой комбинации двух различных точек этого множества.

В качестве примера приведем выпуклый многогранник. Его крайними точками являются его вершины.

Определение . МножествоSE n называетсястрого выпуклым , если оно выпукло и все его граничные точки являются крайними.

Примером строго выпуклого множества является замкнутый шар.

2.1.3. Опорная гиперплоскость

Рассмотрим важнейшее понятие опорной гиперплоскости . Прежде всего заметим, что любая гиперплоскость , где
, a ≠ 0, определяет в пространстве
два замкнутых полупространства

Гиперплоскость является пересечением этих полупространств и одновременно границей каждого из них.

Пусть имеется некоторое выпуклое множество S и его граничная точкаy .

Определение . ГиперплоскостьH , проходящая через точкуy и содержащая все точки множествоS в одном из определяемых ею замкнутых полупространств, называется гиперплоскостью,опорной к множествуS в точкеy .

Можно показать, что опорную гиперплоскость можно провести через любую граничную точку выпуклого множества. Иллюстрация опорной гиперплоскости приведена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Опорная гиперплоскость H к выпуклому множеству S в точке y .

Отметим, что опорная гиперплоскость может быть не единственна (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2. Две опорных гиперплоскости H 1 и H 2 к выпуклому множеству S в точке y .

Пусть теперь задано два непустых множества A иB . ГиперплоскостьH называетсяразделяющей гиперплоскостью, если все точки множестваA лежат в одном из замкнутых полупространств, определяемых гиперплоскостьюH , а все точки множестваB лежат в другом из определяемых ею замкнутых полупространств. Можно доказать несколько теорем о разделяющих гиперплоскостях. Рассмотрим простейшую из них. Пусть
– совокупность внутренних точек множестваA .

Теорема 3.1. ПустьA иB – два непустых выпуклых множества, причем
Ø. Тогда существует гиперплоскостьH , разделяющая множестваA иB. 1

Примеры разделяющих гиперплоскостей приведены на рис. 3.3 и 3.4.

Рис. 3.3. Гиперплоскость H разделяет множества S 1 и S 2 , не имеющие общую точку

Рис. 3.4. Гиперплоскость H разделяет множества S 1 и S 2 , имеющие общую точку

Выпуклые и вогнутые функции